OpenAI는 2026년 8월 1일(현지 시간), 수학과 이론 계산 기학의 장년 미해결 문제에 대해 10개의 새로운 성과를 공개했다. 문제의 해결에 이젰 성과와, 상당한 진전을 가져온 성과가 포함된다고 한다.
수학적인 논의는, 해당 회사가 차기 주요 모델로 지목하는 “Astra”의 내부 버전이 생성한 것이다. 대상 분야는 고차 기하, 코덱스 이론, 군론, 작용소 환, 산술 회로 계산량, 양자 계산량, 격자 암호, 극값 조합론 등 다양하다.
**새로운 유형의 군 존재 문제 해결 및 3건의 Erdős 문제 해결**
최근 일본의 수학자들은 기존의 수학적 접근 방식으로는 해결이 불가능했던 새로운 유형의 군 존재 문제와, 유명 수학자 폴 Erdős가 남긴 3건의 난제 문제를 해결하는 데 성공했습니다. 이 연구는 기존의 수학 이론을 확장하고 새로운 방법론을 제시함으로써, 수학 분야에 큰 영향을 미칠 것으로 기대됩니다. 특히, 이 연구는 컴퓨터 과학 분야에서도 알고리즘 개발 및 최적화 문제 해결에 활용될 수 있는 중요한 성과입니다.
OpenAI가 공개한 10가지 성과는 다음과 같다.
고차원 구 충진: 고차원 공간에서 구를 얼마나 고밀도에 배치할 수 있는지에 대한 문제에 대해, 일반적인 밀도의 상계를 개선했다. 공개 논문에서는 일반적인 구 충진 지표로서 1978년 이후 처음으로 개선되었다고 하고 있다.
이분법과 구면법: 일정 이상의 거리를 유지하면서 배치할 수 있는 符号의 최대 크기에 대해, 기존의 상한을 모든 대상 파라미터에서 지수적으로 개선했습니다.
비소군: 비소군을 명시적으로 구성하고, 모든 가산군이 유한 대체에 의해 근사될 수 있는지에 대한 군론상의 미해결 문제에 부정적인 결론을 제시했다.
콘네스의 강성 예측: 서로 다른 군이 동일한 von Neumann 환을 갖는 반례를 구성하여 특정 군이 von Neumann 환에 의해 단일하게 결정된다는 오랜 예측을 반증했습니다.
산술 회로 계산량: 영구 행렬식을 산술 회로나 산술식으로 계산하는 데 필요한 규모에 대해 새로운 하계를 제시했습니다.
양자 병렬 반복: 일반적인 유한한 이원 양자 게임을 대상으로, 게임을 반복할 시 성공 확률이 지수적으로 저하되는 것을 보여주는 병렬 반복 정리를 증명했다.
최근 벡터 문제: 격자 상에서 목표점에 가장 가까운 벡터를 구하는 “최근 벡터 문제”에 대해, 다항식 인자를 사용하여 근사하는 것의 어려움을 제시했다. 이 문제는 양자 내성 암호와도 관련이 있다.
에하르트의 부피 예측: 무게 중심이 유일한 내부 격자점이 되는 凸体(솟은 도형)에 대해, 모든 차원에서 취할 수 있는 최대 부피를 결정했다.
다색 Ramsey 수: 다색 삼각 Ramsey 수에 초지수적인 하계를 제시하여 Erdős 문제 183을 해결했다.
극치 그래프 이론의 예상: 완전성 예상과 퇴화에 관한 예상에 반례를 제시하며 Erdős 문제 146과 180을 해결
인간의 초안 작성, 모델이 Lean을 이용한 형식 증명 생성
OpenAI에 따르면, Astra 내부 버전이 생성한 수학적 논의는 인간이 동일 모델을 활용하면서 논문 형태로 정제했다. 이후 모델이 각 증명을 정당 증명 지원 시스템 “Lean”에서 형식화했다.
그 회사는 총 249페이지 분량의 논문과 더불어 10개의 결과에 해당하는 Lean 4 형식 증명 데이터를 GitHub에 공개했다. 증명 탐색 과정에 대해서는, 원래의 사고 과정과 완성된 논문을 모델에 읽어게어, 발상이나 막힘, 방향 전환을 사후적으로 재구성한 전체 62페이지 분량의 해설 자료를 제공하고 있다. 이는 모델이 생성 시에 출력한 사고 과정을 그대로 담고 있는 것이 아니다.
해법 탐색에 사용된 총 토큰 수를 OpenAI의 모델 “솔”의 API 요금으로 환산하면 약 2000달러 상당이 된다고 주장한다. 논문의 저자는 개인 이름 대신 “OpenAI”로 표기되었다.
OpenAI는 인공지능 시스템이 수학적 논증 자체를 생성하고 있으며, 인간이 생성한 증명으로 취급하는 것이 실제 제작 과정을 정확하게 반영하지 않는다고 주장했다. 동시에 증명의 정확성에 대한 책임을 지고 있으면서도, 수학계에 그 결과에 대한 검토와 기존 연구에서의 위치를 정하도록 요청하고 있다.
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